Μαθησιακά Αποτελέσματα
Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές θα:
1. θα έχουν εμπλουτίσει τις γνώσεις τους και θα είναι σε θέση να λύνουν προβλήματα Πραγματικής Ανάλυσης
2. θα έχουν εμπλουτίσει τις γνώσεις τους και θα είναι σε θέση να λύνουν προβλήματα Γραμμικής Άλγεβρας
3. θα έχουν εμπλουτίσει τις γνώσεις τους και είναι σε θέση να λύνουν προβλήματα Θεωρίας Αριθμών
4. θα έχουν εμπλουτίσει τις γνώσεις τους και είναι σε θέση να λύνουν προβλήματα Συνδυαστικής
5. θα έχουν εμπλουτίσει τις γνώσεις τους και είναι σε θέση να λύνουν προβλήματα Θεωρίας Πολυωνύμων και Σωμάτων
6. θα είναι σε θέση να ανταποκριθούν σε προβλήματα που τίθενται σε διεθνείς φοιτητικούς διαγωνισμούς στα Μαθηματικά.
Στο τέλος του εξαμήνου γίνεται ο διαγωνισμός επιλογής της εξάδας που θα αντιπροσωπεύσει το
ΑΠΘ στον IMC. Οι επιτυχόντες αναμένεται να ανταποκριθούν στις προκλήσεις και τις δυσκολίες των θεμάτων του διαγωνισμού. Γενικά, αναμένεται πως όλοι οι συμμετέχοντες στο μάθημα θα εμπλουτίσουν τις γνώσεις τους στα προαναφερθέντα αντικείμενα των Μαθηματικών με μαζική παρουσίαση ασκήσεων.
Περιεχόμενο Μαθήματος
Ανάλυση
1. Πραγματικοί και μιγαδικοί αριθμοί.
2. Αριθμητικές ακολουθίες και σειρές.
3. Συναρτήσεις μιας μεταβλητής: συνέχεια, παραγωγισιμότητα, τύπος Taylor, ολοκλήρωμα Riemann.
4. Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων: σημειακή και ομοιόμορφη σύγκλιση, παραγωγισιμότητα και ολοκληρωσιμότητα κατά όρο.
5. Δυναμοσειρές, στοιχειώδεις συναρτήσεις.
6. Μη γνήσιο ολοκήρωμα Riemann, συναρτήσεις ορισμένες από ολοκληρώματα (ολοκληρώματα Euler).
7. Επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων
8. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Θεώρημα Fubini-Tonelli. Θεωρήματα Green, Stokes, Gauss.
9. Ολοκλήρωμα Lebesgue. Θεώρημα Μονότονης και Κυριαρχημένης Σύγκλισης.
Άλγεβρα και Γεωμετρία
1. Γενικές έννοιες σχετικά με αλγεβρικές δομές: ομάδες, δακτύλιοι, σώματα.
2. Γενικές ιδιότητες πολυωνύμων με πραγματικούς και μιγαδικούς συντελεστές.
3. Διανυσματικοί χώροι πεπερασμένης διάστασης πάνω από το σώμα των πραγματικών ή των μιγαδικών αριθμών: βάση και διάσταση.
4. Γραμμικοί μετασχηματισμοί και πίνακες: ιδιοτιμές, ιδιοδιανύσματα, διαγώνια μορφή και εφαρμογές.
5. Τετραγωνικές μορφές. Αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου και του χώρου: ευθείες, επίπεδα, κωνικές τομές.
Θεωρία Αριθμών
1. Διαιρετότητα, ισοτιμίες modn.
2. Θεωρήματα των Fermat, Euler, Wilson.
3. Τετραγωνικά υπόλοιπα. Πολλαπλασιαστική δομή των υπολοίπων modn (πρώτων προς το n).
Πιθανότητες και Συνδυαστική
1. Τυχαία μονοπάτια στο επίπεδο και στο χώρο.
2. Γεωμετρική πιθανότητα.
3. Γεννήτριες συναρτήσεις.
Βιβλιογραφία μαθήματος (Εύδοξος)
1. Problems in Real Analysis: Advanced Calcuclus on the Real Axis, by T.-L. Radulescu, V. Radulescu, T. Andreescu. Springer, 2009.
2. Putnam and Beyond, by R. Gelca, T. Andreescu. Second edition, Springer 2017.
3. Essential Linear Algebra with Applications: A Problem Solving Approach, by T. Andreescu. Springer 2014.