ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

Πληροφορίες Μαθήματος
ΤίτλοςΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ / Subjects Mathematical Logic
Κωδικός0639
ΣχολήΘετικών Επιστημών
ΤμήμαΜαθηματικών
Κύκλος / Επίπεδο1ος / Προπτυχιακό, 2ος / Μεταπτυχιακό
Περίοδος ΔιδασκαλίαςΕαρινή
Υπεύθυνος/ηΑθανάσιος Τζουβάρας
Γνωστικό ΑντικείμενοΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΚοινόΝαι
ΚατάστασηΕνεργό
Course ID40000027

Πρόγραμμα Σπουδών: ΠΜΣ Τμήματος Μαθηματικών (2018-σήμερα)

Εγγεγραμμένοι φοιτητές: 4
ΚατεύθυνσηΤύπος ΠαρακολούθησηςΕξάμηνοΈτοςECTS
ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑA I2110
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ KAI ΕΛΕΓΧΟΥΕπιλογής2110

Πληροφορίες Τάξης
ΤίτλοςΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
Ακαδημαϊκό Έτος2020 – 2021
Περίοδος ΤάξηςΕαρινή
Διδάσκοντες μέλη ΔΕΠ
Ώρες Εβδομαδιαία3
Class ID
600180367
Ηλεκτρονική Διάθεση Μαθήματος
Erasmus
Το μάθημα προσφέρεται και σε φοιτητές προγραμμάτων ανταλλαγής.
Γλώσσα Διδασκαλίας
  • Ελληνικά (Διδασκαλία, Εξέταση)
  • Αγγλικά (Διδασκαλία, Εξέταση)
Περιεχόμενο Μαθήματος
Το μάθημα θα καλύψει τους κλάδους της Θεωρία Μοντέλων, Θεωρίας Συνόλων, και Θεωρίας Υπολογισμού. Κάθε φορά που το μάθημα προσφέρεται θα καλύπτεται ένας από τους τρεις κλάδους και θα υπάρχει εναλλαγή Θεωρία Μοντέλων→ Θεωρία Συνόλων→ Θεωρία Υπολογισμού→ Θεωρία Μοντέλων→Θεωρία Συνόλων→ ... Για το 2021 ο κλάδος που θα καλυφθεί είναι η Θεωρία Μοντέλων. Παρακάτω ακολουθούν οι περιγραφές και των τριών κλάδων. Θεωρία Μοντέλων Το μάθημα είναι μία μεταπτυχιακού επιπέδου εισαγωγή στη Θεωρία Μοντέλων με εφαρμογές από την Άλγεβρα. Τα θέματα που θα μελετήσουμε περιλαμβάνουν: • Ορίσιμα σύνολα • Πλήρης θεωρίες, Αλγεβρικά Κλειστά Σώματα • Ανοδικό και Καθοδικό Θεώρημα των Lowenheim-Skolem • Πυκνές γραμμικές διατάξεις και μπρος-πίσω αποδείξεις • Απαλοιφή Ποσοδεικτών • Τύποι, Θεώρημα Παράληψης Τύπων, • Πρωτογενή και Ατομικά Μοντέλα • Κορεσμένα και Ομογενή Μοντέλα • Θεώρημα Δύο Πληθικών του Vaught • ω-ευσταθείς Θεωρίες και το Θεώρημα του Morley Βιβλιογραφία: D. Marker, Model Theory: An Introduction Στο μάθημα θα καλύψουμε επιλεγμένα θέματα από τα πρώτα 6 κεφάλαια Προαπαιτούμενα: Μαθηματική Λογική, Θεωρία Συνόλων (προπτυχιακά μαθήματα) Πιο συγκεκριμένα εξοικίωση με τις παρακάτω έννοιες: • Τυπικές γλώσσες • Τυπικές αποδείξεις • L-δομές • Θεωρήματα Ορθότητας και Πληρότητας • Θεώρημα Συμπάγειας • Διατακτικοί και πληθικοί αριθμοί • Αξίωμα Επιλογής και Λήμμα του Zorn. Θεωρία Συνόλων Το μάθημα είναι μία εισαγωγή στη μέθοδο του forcing και τις αποδείξεις ανερξαρτησίας. Στη διάρκεια που μαθήματος θα αποδείξουμε την ανερξαρτησία της Υπόθεσης του Συνεχούς (Continuum Hypothesis) και όχι μόνο. Τα θέματα που θα μελετήσουμε περιλαμβάνουν: • Τα αξιώματα ZFC • Άλγεβρες του Boole • Φίλτρα, υπερφίλτρα και γένια φίλτρα • Μοντέλα που παίρνουν τιμές πάνω σε Άλγεβρες του Boole • Γένιες Επεκτάσεις, • Το Θεώρημα του Forcing και το Θεώρημα Γένιων Επεκτάσεων • Αριθμήσιμες Αλυσίδες και διατήρηση πληθικών αριθμών • Ανεξαρτησία της Υπόθεσης του Συνεχούς και του Αξιώματος της Επιλογής Βιβλιογραφία: T. Jech, Set Theory Στο μάθημα θα καλύψουμε επιλεγμένα θέματα κυρίως από τα κεφάλαια 14, 15. Προαπαιτούμενα: Θεωρία Συνόλων, Μαθηματική Λογική (προπτυχιακά μαθήματα) Θεωρία Υπολογισμού Η Θεωρία Υπολογισμού είναι κλάδος των Μαθηματικών και συγκεκριμένα της Μαθηματικής Λογικής. Κεντρικό πρόβλημα είναι η Μαθηματική θεμελίωση της έννοιας του αλγορίθμου και της (μηχανικά) υπολογίσιμης συνάρτησης. Οι έννοιες του αλγορίθμου και της υπολογίσιμης συνάρτησης έχουν ενδιαφέρον και για τα ίδια τα Μαθηματικά, π.χ. το 10ο Θεώρημα του Hilber, αλλά και πάνω σε αυτές τις έννοιες θεμελιώνεται η Επιστήμη των Υπολογιστών, π.χ. το Halting problem. Οπότε το ενδιαφέρον για την Θεωρία Υπολογισμού δεν περιορίζεται στα Μαθηματικά αλλά επεκτείνεται και στη Θεωρητική Πληροφορική. Τα θέματα που θα μελετήσουμε περιλαμβάνουν: • Πρωτογενείς αναδρομικές συναρτήσεις και γενικές αναδρομικές συναρτήσεις. • Αναδρομή και υπολογισμός, αναδρομικά σύνολα • Το αίτημα των Church- Turing • Μηχανές Turing. Turing υπολογίσιμες συναρτήσεις. • Ημιαναδρομικές συναρτήσεις και αναδρομικά απαριθμήσιμα σύνολα • Απαρίθμηση και κανονική μορφή Kleene • Θεωρήματα Αναδρομής • Αριθμητική Ιεραρχία • Αριθμητικοποίηση και μη ορισιμότητα της αλήθειας Βιβλιογραφία: 1. Γιάννης Μοσχοβάκης, Αναδρομή και Υπολογισιμότητα, Διαθέσιμο στη ιστοσελίδα του συγγραφέα: https://www.math.ucla.edu/~ynm/books.htm (πρόσβαση 9/2/2021) 2. Michael Sipser: Εισαγωγή στην Θεωρία Υπολογισμού, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης  3. Harry Lewis, Χρήστος Παπαδημητρίου: Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισμού, Εκδόσεις Κριτική Προαπαιτούμενα: Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό μάθημα)
Τύποι Εκπαιδευτικού Υλικού
  • Σημειώσεις
  • Βιντεοδιαλέξεις
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Χρήση Τ.Π.Ε.
  • Χρήση Τ.Π.Ε. στη Διδασκαλία
  • Χρήση Τ.Π.Ε. στην Επικοινωνία με τους φοιτητές
  • Χρήση Τ.Π.Ε. στην Αξιολόγηση των Φοιτητών
Αξιολόγηση Φοιτητών
Περιγραφή
Διεβομαδιαίες εργασίες, δημόσια παρουσίαση, γραπτή τελική εξέταση
Μέθοδοι Αξιολόγησης Φοιτητών
  • Γραπτή Εξέταση με Ερωτήσεις Σύντομης Απάντησης (Διαμορφωτική, Συμπερασματική)
  • Γραπτή Εξέταση με Ερωτήσεις Εκτεταμένης Απάντησης (Διαμορφωτική, Συμπερασματική)
  • Γραπτή Εργασία (Διαμορφωτική)
  • Προφορική Εξέταση (Συμπερασματική)
  • Δημόσια Παρουσίαση (Διαμορφωτική)
  • Γραπτή Εξέταση με Επίλυση Προβλημάτων (Διαμορφωτική, Συμπερασματική)
Βιβλιογραφία
Βιβλιογραφία μαθήματος (Εύδοξος)
Βιβλιογραφία Θεωρίας Μοντέλων D. Marker, Model Theory: An Introduction Βιβλιογραφία Θεωρίας Συνόλων: T. Jech, Set Theory Βιβλιογραφία Θεωρίας Υπολογισμού: 1. Γιάννης Μοσχοβάκης, Αναδρομή και Υπολογισιμότητα, Διαθέσιμο στη ιστοσελίδα του συγγραφέα: https://www.math.ucla.edu/~ynm/books.htm (πρόσβαση 9/2/2021) 2. Michael Sipser: Εισαγωγή στην Θεωρία Υπολογισμού, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 3. Harry Lewis, Χρήστος Παπαδημητρίου: Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισμού, Εκδόσεις Κριτική
Τελευταία Επικαιροποίηση
12-02-2021