ΘΕΩΡΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

Eιδίκευσης / Kατεύθυνσης

Η εξοικείωση με μαθηματικά εργαλεία τα οποία είναι χρήσιμα για την μελέτη των ενοτήτων που ακολουθούν όπως: ◦ Βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών. ◦ Ανάλυση συστημάτων στον χώρο των καταστάσεων. • Η παρουσίαση προβλημάτων της Θεωρίας Βέλτιστου Ελέγχου. • Βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής. • Βελτιστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Να εισάγει τον αναγνώστη στην έννοια του συναρτησιακού και των ιδιοτήτων του, κάνοντας χρήση γνωστών εννοιών από τις συναρτήσεις. • Να διατυπώσει το βασικό Θεώρημα του Λογισμού των Μεταβολών διατυπώνοντας με τον τρόπο αυτό μια αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη ακροτάτου σε ένα συναρτησιακό. • Διατύπωση αναγκαίων συνθηκών Euler‐Lagrance για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού. • Διατύπωση ικανών συνθηκών Legendre‐Jacobi για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού. • Τερματική συνθήκη/ες ή συνθήκη/ες εγκαρσιότητας και μελέτη ειδικών περιπτώσεων. • Επίλυση βραχυστόχρονου προβλήματος (brachistochrone problem). • Επίλυση του προβλήματος αλυσίδας (hanging chain or catenary problem). • Διατύπωση αναγκαίων συνθηκών Euler‐Lagrance για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού. • Διατύπωση ικανών συνθηκών Legendre‐Jacobi για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού. • Τερματική συνθήκη/ες ή συνθήκη/ες εγκαρσιότητας και μελέτη ειδικών περιπτώσεων. • Διατύπωση αναγκαίων συνθηκών Euler‐Lagrance για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού. • Διατύπωση ικανών συνθηκών Legendre‐Jacobi για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού. • Τερματική συνθήκη/ες ή συνθήκη/ες εγκαρσιότητας και μελέτη ειδικών περιπτώσεων για τις αρχικές και τελικές τιμές της x(t). • Συνθήκες Weierstrass‐Erdmann για τα σημεία ασυνέχειας της παραγώγου της x(t). • Ο μετασχηματισμός της επίλυσης ενός προβλήματος υπολογισμού τοπικού ακρότατου συναρτησιακού διανυσματικής συνάρτησης η οποία υπόκειται σε δεσμούς, σε ένα ισοδύναμο πρόβλημα στο οποίο δεν έχουμε δεσμούς πλέον να ικανοποιούνται. • Ο μετασχηματισμός αυτός επιτυγχάνεται με χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange. • Επίλυση προβλήματος Bolza με χρήση Χαμιλτονιανής συνάρτησης. • Διατύπωση ικανών και αναγκαίων συνθηκών καθώς και των συνθηκών εγκαρσιότητας μέσω της Χαμιλτονιανής συνάρτησης. • Η είσοδος στο παραπάνω πρόβλημα δεν είναι φραγμένη. • Επίλυση του γραμμικού τετραγωνικού προβλήματος με πεπερασμένο χρονικό ορίζοντα : με επίλυση του συστήματος στον χώρο των καταστάσεων που προκύπτει από τις Χαμιλτονιανές εξισώσεις (αναγκαίες συνθήκες ακροτάτου) με επίλυση των διαφορικών εξισώσεων πινάκων Riccati. • Επίλυση του γραμμικού τετραγωνικού προβλήματος με άπειρο χρονικό ορίζοντα : - Με επίλυση του συστήματος στον χώρο των καταστάσεων που προκύπτει από τις Χαμιλτονιανές εξισώσεις (αναγκαίες συνθήκες ακροτάτου). - Με επίλυση των αλγεβρικών εξισώσεων πινάκων Riccati. - Ικανές και αναγκαίες συνθήκες επίλυσης του προβλήματος. - Επίλυση του προβλήματος ανίχνευσης (tracking problem). - Επίλυση του προβλήματος Bolza με την παραδοχή ότι η είσοδος είναι φραγμένη. - Αντικατάσταση της συνθήκης στατικότητας με την αρχή ελαχίστου του Pontryagin για την επίλυση του παραπάνω προβλήματος. - Εφαρμογή του παραπάνω προβλήματος στα παρακάτω ειδικά προβλήματα : - Πρόβλημα ελαχίστου χρόνου (time optimal control problem) - Πρόβλημα ελαχίστων καυσίμων (fuel optimal control problem) - Πρόβλημα ελάχιστης ενέργειας (energy optimal control problem)

Το πρόβλημα του βέλτιστου ελέγχου. Βασικές μαθηματικές έννοιες από το λογισμό μεταβολών. Ακρότατα συναρτησιακών. Εξίσωση Euler-Lagrance. Ακρότατα συναρτησιακών με περιορισμούς. Βέλτιστος έλεγχος αιτιοκρατικών συστημάτων με ή και χωρίς φραγμό στο διάνυσμα ελέγχου. Αρχή ελαχίστου του Pontryagin. Το πρόβλημα γραμμικής τετραγωνικής ρύθμισης (LQ) και παρακολούθησης. Εξισώσεις Riccati. Πρόβλημα ελαχίστου χρόνου. Θεωρία Hamilton-Jacobi-Bellman. Ακριβείς και προσεγγιστικες λύσεις της εξίσωσης Hamilton Jacobi Bellman. "Κυρτοποίηση" της εξίσωσης Hamilton Jacobi Bellman. Δυναμικός προγραμματισμός. Παρατήρηση του διανύσματος κατάστασης σε στοχαστικό περιβάλλον. Φίλτρο Kalman. Το πρόβλημα της γραμμικής τετραγωνικής Gaussian βελτιστοποίησης (LQG). Εφαρμογές σε πραγματικά πρόβληματα (ενεργιακά αποτελεσματικά κτήρια, έλεγχος κυκλοφορίας, ρομποτική, έξυπνο δίκτυο, internet).

21-05-2025