ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Ειδικού Υποβάθρου

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, Οι φοιτητές 1) θα είναι σε θέση να κατασκευάζουν κατάλληλα μαθηματικά μοντέλα για δυναμικά συστήματα από διάφορους κλάδους της φυσικής (μηχανική, ηλεκτρομαγνητισμός, Αστρονομία κλπ), να επιλέγουν την κατάλληλη μεθοδολογία μοντελοποίησης και να αξιολογούν την εγκυρότητα και τα όρια εφαρμογής των μοντέλων. 2) θα αποκτήσουν την ικανότητα να επιλύουν διαφορικές εξισώσεις και συστήματα εξισώσεων χρησιμοποιώντας αριθμητικές μεθόδους, να αξιολογούν τη σταθερότητα και την ακρίβεια των υπολογιστικών σχημάτων, και να υλοποιούν προσομοιώσεις σε προγραμματιστικά περιβάλλοντα. 3) θα μπορούν να αναγνωρίζουν και να αναλύουν διαφορετικά καθεστώτα συμπεριφοράς (ευστάθεια, περιοδικότητα, χάος), να υπολογίζουν κρίσιμες παραμέτρους του συστήματος, και να εφαρμόζουν τεχνικές ανάλυσης όπως χώρος φάσεων, διακλαδώσεις και εκθέτες Lyapunov. 4) θα αναπτύξουν δεξιότητες σε προσομοιώσεις δυναμικών συστημάτων κατανοώντας την εξελιξή τους με βάση τις αρχικές συνθήκες και τις παραμέτρους τους. 5) θα είναι ικανοί να κατανοήσουν τις βασικές αρχές της πολύπλοκης συμπεριφοράς των δυναμικών συστημάτων σε διαφορετικά μοντέλα και να αποκτήσουν αντίληψη σχετικά με την προβλεψιμότητα της εξέλιξης των συστημάτων και τις ιδιότητες αυτών στην τελική τους κατάσταση αν είναι δυνατό. 6) θα μπορούν να κατανοήσουν την εφαρμοσιμότητα των θεωρητικών αποτελεσμάτων στην πράξη.

1) Εισαγωγή στα δυναμικά συστήματα και μεθόδους μοντελοποίησης: Βασικές έννοιες δυναμικών συστημάτων, χώρος φάσεων, διατήρηση ενέργειας και άλλων αναλλοίωτων μεγεθών. Επισκόπηση αριθμητικών μεθόδων ολοκλήρωσης. 2) Ελκυστές και ανάλυση χώρου φάσεων: Σημεία ισορροπίας και ευστάθεια, ελκυστές σημείου, οριακοί κύκλοι και περιοδικές τροχιές. Παράξενοι ελκυστές και χαοτική δυναμική, εκθέτες Lyapunov και ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. 3) Διακλαδώσεις και μετάβαση στο χάος: Τύποι διακλαδώσεων (saddle-node, Hopf, period-doubling), διαγράμματα διακλάδωσης, οδοί προς το χάος. Ανάλυση μέσω απεικονίσεων Poincaré και διαγραμμάτων φασικού χώρου. 4) Συζευγμένοι ταλαντωτές και μεταφορά ενέργειας: Μοντέλα αλληλεπιδρώντων ταλαντωτών, κανονικοί τρόποι ταλάντωσης, δυναμική συντονισμού. Μηχανισμοί μεταφοράς και αναδιανομής ενέργειας σε συζευγμένα συστήματα. 5) Το πρόβλημα των N-σωμάτων: Εξισώσεις κίνησης για βαρυτικά συστήματα πολλών σωμάτων, αλγόριθμοι υπολογισμού βαρυτικών δυνάμεων, προσομοίωση γαλαξιακών συστημάτων και πλανητικών τροχιών. 6) Μη γραμμικά ηλεκτρικά κυκλώματα: Μοντελοποίηση κυκλωμάτων με μη γραμμικά στοιχεία (διόδους, τρανζίστορ), ταλαντωτές Van der Pol και Duffing, κύκλωμα Chua και χαοτική συμπεριφορά. Διακλαδώσεις και μετάβαση στο χάος. 7) Φαινόμενα συγχρονισμού: Θεωρία συγχρονισμού ταλαντωτών, μοντέλο Kuramoto για συζευγμένους ταλαντωτές φάσης και εφαρμογές. 8) Υπολογιστικά εργαλεία και πρακτικές εφαρμογές: Υλοποίηση προσομοιώσεων σε σύγχρονα ερευνητικά προβλήματα στην υπολογιστική φυσική.

29-09-2025