Εμβάθυνσης / Εμπέδωσης Γνώσεων

Το μάθημα προσφέρεται και σε φοιτητές προγραμμάτων ανταλλαγής.

Ο φοιτητής που θα ολοκληρώσει επιτυχώς το εν λόγω μάθημα, αναμένεται ότι θα είναι σε θέση να: • ταξινομήσει μια διαφορική εξίσωση ως προς την τάξη, τη γραμμικότητα και την ομογένεια. • αναγνωρίσει πεδία εφαρμογών διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους • διατυπώσει και ερμηνεύσει τις εξισώσεις μεταφοράς, κύματος, διάχυσης, Laplace, Poisson. • ορίσει ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών και να αναγνωρίσει το είδος των συνοριακών συνθηκών • εφαρμόσει τη μέθοδο των χαρακτηριστικών καμπυλών για την επίλυση γραμμικών και μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους πρώτης τάξης. • διατυπώσει και να αποδείξει τις βασικές ιδιότητες αρμονικών συναρτήσεων όπως οι αρχές μεγίστου/ελαχίστου, η ιδιότητα μέσης τιμής και η ομαλότητα τους. • αναπαραστήσει τη λύση του προβλήματος Cauchy για την κυματική εξίσωση, μέσω του τύπου του d' Alembert και της εξίσωσης θερμότητας/διάχυσης μέσω του πυρήνα θερμότητας (θεμελιώδους λύσης). • αναπαραστήσει τις λύσεις για προβλήματα συνοριακών συνθηκών μέσω σειρών Fourier (μέθοδος χωρισμού μεταβλητών). • εφαρμόσει ποιοτική ανάλυση των λύσεων σε προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών για την κυματική εξίσωση και την εξίσωση διάχυσης.

Εισαγωγή. Μερικές απλές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. Καλώς τοποθετημένα προβλήματα. Κλασσικές λύσεις. Ασθενείς λύσεις και κανονικότητα. Τέσσερες σημαντικές γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. 1) Η εξίσωση της Μεταφοράς. Το πρόβλημα αρχικών τιμών. Το μη ομογενές πρόβλημα. 2) Η εξίσωση του Laplace, και η εξίσωση του Poisson. Θεμελιώδης λύση. Στοιχεία από την θεωρία των κατανομών. Οι τύποι της μέσης τιμής. Ιδιοτιμές των αρμονικών συναρτήσεων. Η αρχή του ισχυρού μεγίστου και μοναδικότητας των λύσεων ορισμένων προβλημάτων συνοριακών τιμών για την εξίσωση του Poisson. Εξομαλυντές και λειότης. Τοπικές εκτιμήσεις για τις παραγώγους των αρμονικών συναρτήσεων. Το θεώρημα του Liouville. Η ανισότης του Harnack. Η συνάρτηση του Green. Η συνάρτηση του Green για ένα ημιχώρο και μία μπάλα. 3) Η εξίσωση της θερμότητας. Θεμελιώδης λύση. Ερωτήματα αντίστοιχα με αυτά της παραγράφου (2). 4) Η εξίσωση των κυμάτων.

16-03-2020