Εμβάθυνσης / Εμπέδωσης Γνώσεων

Το μάθημα προσφέρεται και σε φοιτητές προγραμμάτων ανταλλαγής.

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές θα: • έχουν κατανοήσει την ακριβή έννοια μιας τυπικής πρωτοβάθμιας μαθηματικής γλώσσας, τις δυνατότητες αλλά και τους περιορισμούς της, με παραδείγματα από γνωστές μαθηματικές θεωρίες. • γνωρίζουν την ακριβή έννοια της τυπικής απόδειξης (κατά Hilbert). • έχουν κατανοήσει τη θεμελιώδη διάκριση των λογικών εννοιών σε σημασιολογικές και συντακτικές, οι οποίες συχνά εμφανίζονται κατά ζεύγη, όπως π.χ. το ζεύγος αλήθεια-απόδειξη, καθώς και τη συσχέτιση/ισοδυναμία αυτών μέσα από τα θεωρήματα ορθότητας και πληρότητας. • έχουν κατανοήσει την «τοπικότητα» της αλήθειας κατά Tarski (αλήθεια ως προς μια δομή). Επίσης την διάκριση των διάφορων αληθειών που χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά, σε «λογικές αλήθειες» (ταυτολογίες), που ισχύουν σε όλες τις δομές, και «μαθηματικές αλήθειες» (μαθηματικά αξιώματα/θεωρήματα) που ισχύουν τοπικά, στα μοντέλα μιας θεωρίας.

Ο Κατηγορηματικός Λογισμός (ΚΛ) ώς σημασιολογία και ώς σύνταξη: πρωτοβάθμιες γλώσσες, ερμηνεία τους σε L-δομές, αλήθεια κατά Tarski, οι έννοιες του λογικού συμπεράσματος και της ταυτολογίας. Αξιωματικοποίηση: λογικά αξιώματα, κανόνες παραγωγής, απόδειξη κατά Hilbert, συνέπεια. Συσχέτιση των σημασιολογικών και συντακτικών εννοιών μέσω των θεωρημάτων Ορθότητας και Πληρότητας. Θεώρημα Συμπάγειας. Κατά την παρουσίαση των παραπάνω, γίνονται σύντομες αναφορές στη μορφή που παίρνουν οι έννοιες αυτές όταν περιορισθούν στο υποσύστημα του ΚΛ που λέγεται Προτασιακός Λογισμός (ΠΛ).

15-03-2020