Εμβάθυνσης / Εμπέδωσης Γνώσεων

Το μάθημα προσφέρεται και σε φοιτητές προγραμμάτων ανταλλαγής.

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος οι φοιτητές: • θα έχουν κατανοήσει την ύπαρξη πολλών διαφορετικών απείρων μεγεθών (πληθαρίθμων απείρων συνόλων), σε αντίθεση με την έννοια του δυνητικού απείρου όπως εμφανίζεται στα κλασικά μαθηματικά, π.χ, στην Ανάλυση, όπου το άπειρο είναι απλώς ένα όριο. Μάλιστα οι άπειροι πληθάριθμοι, επεκτείνουν την ακολουθία των πεπερασμένων (φυσικών αριθμών) καθώς, όπως και στους φυσικούς, για κάθε άπειρο πληθάριθμο κ υπάρχει ένας αμέσως επόμενος (μεγαλύτερος) πληθάριμος κ+. • θα έχουν κατανοήσει ότι οι άπειροι πληθάριθμοι επεκτείνουν την ακολουθία των πεπερασμένων (φυσικών αριθμών) καθώς, όπως και στους φυσικούς, για κάθε άπειρο πληθάριθμο κ υπάρχει ένας αμέσως επόμενος (μεγαλύτερος) πληθάριμος κ+. • θα έχουν κατανοήσει την έννοια και τις ιδιότητες του διατακτικού αριθμού, και τη σημαντική διαφορά τους από τους πληθαρίθμους, π.χ. μή αντιμεταθετικότητα πρόσθεσης και πολλ/σμού, διαφορά που φαίνεται μόνο στην περίπτωση των άπειρων διατακτικών (ενώ πεπερασμένοι διατακτικοί και πληθάριθμοι συμπίπτουν). • θα έχουν κατανοήσει τη δυνατότητα που δίνουν τα αξιώματα του ZFC, να παριστάνουμε με σύνολα (δυνητικά) όλα τα μαθηματικά αντικείμενα, και έτσι το σύμπαν του ZFC να περιέχει όλα τα γνωστά μαθηματικά αντικείμενα υπό μορφή συνόλων. Ειδικότερα θα έχουν κατανοήσει ότι η ZFC έχει έναν ενοποιητικό ρόλο και ότι η Θ. Συνόλων αναδεικνύεται ώς η θεωρία που μπορεί να αποτελέσει τα «Θεμέλια των Μαθηματικών» (foundations of mathematics). • θα έχουν κατανοήσει τον ειδικό ρόλο που παίζει το αξίωμα επιλογής (ΑΕ) σ΄ όλους τους μαθηματικούς κλάδους, τη διευκόλυνση που παρέχει σε αποδείξεις και ισοδυναμίες ορισμών (π.χ. ισοδυναμία του ε-δ ορισμού της συνεχούς συνάρτησης με το ορισμό μέσω ακολουθιών). Ειδικότερα θα έχουν κατανοήσει ότι μόνο χάρη στο ΑΕ όλα τα σύνολα είναι μεταξύ τους συγκρίσιμα ώς προς τον πληθάριθμο και ότι όλοι οι πληθάριθμοι είναι άλεφς.

Βασικές έννοιες της καντοριανής (απλοϊκής) θεωρίας συνόλων. Σύγκριση μεγέθους συνόλων, ισοπληθή σύνολα, θεωρήματα Cantor και Cantor-Bernstein. Παράδοξα της Kαντοριανής Θεωρίας. Αξιωματική Θεωρία Συνόλων Zermelo-Fraenkel (ZF, ZFC). Σωρευτική ιεραρχία, το σύμπαν του ZF και ο ρόλος του Αξιώματος Θεμελίωσης. Καλά διατεταγμένα σύνολα, διατακτικοί αριθμοί και πράξεις διατακτικών. Υπερπεπερασμένη επαγωγή και έψιλον-επαγωγή. Αριθμός Hartogs, άλεφς και και πράξεις επί των άλεφς. Αξίωμα Επιλογής και τα ισοδύναμά του, Θεώρημα Καλής Διάταξης και Λήμμα του Zorn. Άπειρα αθροίσματα και γινόμενα πληθαρίθμων, κανονικοί και ιδιάζοντες πληθάριθμοι, Λήμμα του Koenig, Υπόθεση του Συνεχούς.

15-03-2020