ΟΛΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
| Τίτλος | ΟΛΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ / GLOBAL DIFFERENTIAL GEOMETRY |
| Κωδικός | Θ030 |
| Σχολή | Θετικών Επιστημών |
| Τμήμα | Μαθηματικών |
| Κύκλος / Επίπεδο | 2ος / Μεταπτυχιακό |
| Περίοδος Διδασκαλίας | Χειμερινή/Εαρινή |
| Υπεύθυνος/η | Μανούσος Μαριδάκης |
| Κοινό | Όχι |
| Κατάσταση | Ενεργό |
| Course ID | 600025919 |
Πρόγραμμα Σπουδών: ΠΜΣ Τμήματος Μαθηματικών (2025-2030)
Εγγεγραμμένοι φοιτητές: 0
| Κατεύθυνση | Τύπος Παρακολούθησης | Εξάμηνο | Έτος | ECTS |
|---|---|---|---|---|
| ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ | Υποχρεωτικό Επιλογής | Χειμερινή | - | 10 |
| Τίτλος | ΟΛΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ |
| Ακαδημαϊκό Έτος | 2025 – 2026 |
| Περίοδος Τάξης | Χειμερινή |
| Διδάσκοντες μέλη ΔΕΠ | |
| Ώρες Εβδομαδιαία | 3 |
| Ώρες Συνολικά | 39 |
| Class ID | 600268391
|
Τύπος Προσφοράς
- Επιστημονικής Περιοχής
Τύπος Μαθήματος
Eιδίκευσης / Kατεύθυνσης
Τρόπος Παράδοσης
- Πρόσωπο με πρόσωπο
- Eξ απoστάσεως εκπαίδευση
Ηλεκτρονική Διάθεση Μαθήματος
- e-Οδηγός Σπουδών https://qa.auth.gr/el/class/1/600268391
- eLearning:
Erasmus
Το μάθημα προσφέρεται και σε φοιτητές
προγραμμάτων ανταλλαγής.
Γλώσσα Διδασκαλίας
- Ελληνικά (Διδασκαλία, Εξέταση)
Προαπαιτήσεις
Γενικές Προαπαιτήσεις
Γενικό υπόβαθρο σε Θεωρία Διαφορίσιμων Πολλαπλοτήτων μεταπτυχιακού επιπέδου.
Μαθησιακά Αποτελέσματα
Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές θα μπορούν:
1) Να γνωρίζουν βασικές ιδιότητες του φάσματος Λαπλασιανής πάνω απο συμπαγής κλειστές πολλαπλότητες,
2) Να γνωρίζουν να περιγράφουν γεωμετρικά προβλήματα με λογισμό μεταβολών και να βρίσκουν τον φορμαλισμό
κρίσιμων σημείων σε θεωρία ασθενών λύσεων PDE,
3) Να γνωρίσουν την κρισιμότητα των θεωρημάτων εμβάπτισης του Sobolev σε βασικά γεωμετρικά προβλήματα όπως η
ευρεση και σύγκλιση γεωδαισικακών,
4) Να μπορούν να βγάζουν γεωμετρικά-τοπολογικά συμπεράσματα μελετώντας γεωμετρικά-ελλειπτικά προβληματα μέσω της
τεχνικής του Bochner,
5) Να μάθουν βασικές γεωμετρικές-τοπολογικές εφαρμογές απο τον πυρήνα θερμότητας.
Γενικές Ικανότητες
- Εφαρμογή της γνώσης στην πράξη
- Αυτόνομη εργασία
- Ομαδική εργασία
- Παραγωγή νέων ερευνητικών ιδεών
- Άσκηση κριτικής και αυτοκριτικής
- Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης
Περιεχόμενο Μαθήματος
Διανυσματικές δέσμες, συνοχές και καμπυλότητα σε διανυσματικές δέσμες, διαφορικοί τελεστές και χώροι Sobolev, βασική ελλειπτική θεωρία, φασματική θεωρία και το Θεώρημα του Hodge, η τεχνική του Bochner, στοιχεία λογισμού των μεταβολών, το Θεώρημα mountain pass και εφαρμογή στην εύρεση κλειστών γεωδαισιακών σε πολλαπλότητες Riemann, σπινοριακές δέσμες και ο τελεστής Dirac, ο πυρήνας θερμότητας σε πολλαπλότητες Riemann.
Λέξεις Κλειδιά
Καμπυλότητα, θεώρημα του Hodge, τεχνική του Bochner, Sobolev εμβαπτίσεις, βασική ελλειπτική θεωρία, θεώρημα mountain pass, πυρήνας θερμότητας
Τύποι Εκπαιδευτικού Υλικού
- Σημειώσεις
- Πολυμεσικό υλικό
- Βιβλίο
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Χρήση Τ.Π.Ε.
- Χρήση Τ.Π.Ε. στη Διδασκαλία
- Χρήση Τ.Π.Ε. στην Επικοινωνία με τους φοιτητές
- Χρήση Τ.Π.Ε. στην Αξιολόγηση των Φοιτητών
Περιγραφή
Διαδικτυακές ώρες ασκήσεων.
Οργάνωση Μαθήματος
| Δραστηριότητες | Φόρτος Εργασίας | ECTS | Ατομικά | Ομαδικά | Erasmus |
|---|---|---|---|---|---|
| Διαλέξεις | 39 | ||||
| Μελέτη και ανάλυση βιβλίων και άρθρων | 185 | ||||
| Φροντιστήριο | 11 | ||||
| Εκπόνηση μελέτης (project) | 20 | ||||
| Συγγραφή εργασίας / εργασιών | 40 | ||||
| Εξετάσεις | 5 | ||||
| Σύνολο | 300 |
Αξιολόγηση Φοιτητών
Περιγραφή
Η βαθμολογία θα καθοριστεί κυρίως απο φυλλάδια προβλημάτων και ατομικές οι ομαδικές δραστηριότητες παρουσίασης εργασιών. (Οι λεπτομέριες θα εξηγηθούν στην διάρκεια του μαθήματος)
Μέθοδοι Αξιολόγησης Φοιτητών
- Γραπτή Εργασία (Συμπερασματική)
- Προφορική Εξέταση (Συμπερασματική)
- Δημόσια Παρουσίαση (Συμπερασματική)
Βιβλιογραφία
Βιβλιογραφία μαθήματος (Εύδοξος)
Lectures on the Geometry of Manifolds, by Liviu Nicolaescu
Riemannian Geometry and Geometric Analysis, by Jurgen Jost
The Laplacian on Riemannian Manifolds, by Steven Rosenberg.
Επιπρόσθετη βιβλιογραφία για μελέτη
Geometric Analysis by Peter Li.
Elliptic Partial Differential Equations by D.Gilbarg and N.Trudinger.
Τελευταία Επικαιροποίηση
12-05-2025
