ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ
| Τίτλος | ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ / ALGEBRAIC TOPOLOGY |
| Κωδικός | Θ010 |
| Σχολή | Θετικών Επιστημών |
| Τμήμα | Μαθηματικών |
| Κύκλος / Επίπεδο | 2ος / Μεταπτυχιακό |
| Περίοδος Διδασκαλίας | Χειμερινή/Εαρινή |
| Υπεύθυνος/η | Γεώργιος Ράπτης |
| Κοινό | Ναι |
| Κατάσταση | Ενεργό |
| Course ID | 600025890 |
Πρόγραμμα Σπουδών: ΠΜΣ Τμήματος Μαθηματικών (2025-2030)
Εγγεγραμμένοι φοιτητές: 0
| Κατεύθυνση | Τύπος Παρακολούθησης | Εξάμηνο | Έτος | ECTS |
|---|---|---|---|---|
| ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ | Υποχρεωτικό Επιλογής | Εαρινό | - | 10 |
| Τίτλος | ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ |
| Ακαδημαϊκό Έτος | 2025 – 2026 |
| Περίοδος Τάξης | Εαρινή |
| Διδάσκοντες μέλη ΔΕΠ | |
| Ώρες Εβδομαδιαία | 3 |
| Ώρες Συνολικά | 39 |
| Class ID | 600268416
|
Τύπος Προσφοράς
- Επιστημονικής Περιοχής
Τύπος Μαθήματος
Eιδίκευσης / Kατεύθυνσης
Τρόπος Παράδοσης
- Πρόσωπο με πρόσωπο
- Eξ απoστάσεως εκπαίδευση
Ηλεκτρονική Διάθεση Μαθήματος
- e-Οδηγός Σπουδών https://qa.auth.gr/el/class/1/600268416
Erasmus
Το μάθημα προσφέρεται και σε φοιτητές
προγραμμάτων ανταλλαγής.
Γλώσσα Διδασκαλίας
- Ελληνικά (Διδασκαλία, Εξέταση)
- Αγγλικά (Διδασκαλία, Εξέταση)
Προαπαιτήσεις
Γενικές Προαπαιτήσεις
Βασικές γνώσεις γενικής τοπολογίας και θεωρίας ομάδων προπτυχιακού επιπέδου
Μαθησιακά Αποτελέσματα
Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές:
1. θα γνωρίζουν έννοιες και τεχνικές της αλγεβρικής τοπολογίας που είναι κεντρικής σημασίας στα σύγχρονα θεωρητικά μαθηματικά
2. θα δουν εφαρμογές των μεθόδων της αλγεβρικής τοπολογίας σε άλλα πεδία
3. θα γνωρίζουν τη γλώσσα και τη σημασία της θεωρίας των κατηγοριών ως γενικό πλαίσιο για την ανάλυση των τοπολογικών χώρων μέσω αλγεβρικών δομών
4. θα έχουν κατανοήσει την προσέγγιση της θεωρίας ομοτοπίας και τις εφαρμογές της στη μελέτη της γεωμετρικής δομής των χώρων
5. θα μπορούν να υπολογίσουν τη θεμελιώδη ομάδα και άλλα παραδείγματα ομοτοπικών ομάδων
6. θα γνωρίζουν βασικές ομοτοπικές ιδιότητες σημαντικών χώρων όπως οι σφαίρες, οι προβολικοί χώροι και οι επιφάνειες
Γενικές Ικανότητες
- Λήψη αποφάσεων
- Αυτόνομη εργασία
- Ομαδική εργασία
- Παραγωγή νέων ερευνητικών ιδεών
- Άσκηση κριτικής και αυτοκριτικής
- Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης
Περιεχόμενο Μαθήματος
Τοπολογικοί χώροι. Βασικές κατασκευές με τοπολογικούς χώρους. Σφαίρες, επιφάνειες και προβολικοί χώροι. Κατηγορίες, συναρτητές και φυσικοί μετασχηματισμοί. Ομοτοπία και ομοτοπικές ισοδυναμίες. Θεμελιώδης ομάδα. Χώροι επικάλυψης και η ταξινόμηση τους. Βασικά παραδείγματα υπολογισμών της θεμελιώδους ομάδας. Το θεώρημα Seifert-van Kampen. Εφαρμογές: το θεώρημα Brouwer σταθερού σημείου και το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας. Βασικές έννοιες ομοτοπικής θεωρίας τοπολογικών χώρων (cofibrations, fibrations, ακολουθίες Puppe, ανώτερες ομοτοπικές ομάδες, αναρτήσεις, θηλιές κλπ.). CW-σύμπλοκα και η ομοτοπική τους θεωρία. Το θεώρημα Whitehead. Προσεγγίσεις τοπολογικών χώρων με CW-σύμπλοκα. Χώροι Eilenberg-Mac Lane. Τα θεώρημα ομοτοπικής εκτομής Blakers-Massey. Στοιχειώδεις υπολογισμοί ανώτερων ομοτοπικών ομάδων. Το θεώρημα ανάρτησης Freudenthal και άλλες εφαρμογές.
Λέξεις Κλειδιά
τοπολογικός χώρος, θεμελιώδης ομάδα, χώροι επικάλυψης, συναρτητής, ομοτοπία, ομοτοπικές ομάδες, CW-σύμπλοκα
Τύποι Εκπαιδευτικού Υλικού
- Σημειώσεις
- Βιβλίο
Οργάνωση Μαθήματος
| Δραστηριότητες | Φόρτος Εργασίας | ECTS | Ατομικά | Ομαδικά | Erasmus |
|---|---|---|---|---|---|
| Διαλέξεις | 39 | ||||
| Σεμινάρια | 20 | ||||
| Μελέτη και ανάλυση βιβλίων και άρθρων | 183 | ||||
| Εκπόνηση μελέτης (project) | 35 | ||||
| Συγγραφή εργασίας / εργασιών | 20 | ||||
| Εξετάσεις | 3 | ||||
| Σύνολο | 300 |
Αξιολόγηση Φοιτητών
Περιγραφή
1. Γραπτή ή προφορική εξέταση στην ύλη του μαθήματος (50-70%).
2. Ανάθεση θέματος για παρουσίαση (σεμινάριο) και γραπτή αναφορά (προτζεκτ) για το περιεχόμενο της παρουσίασης (30-50%).
3. (διαμορφωτική, προαιρετική, χωρίς βαθμό) Γραπτές εργασίες στην επίλυση ασκήσεων για την καλύτερη κατανόηση της ύλης.
Μέθοδοι Αξιολόγησης Φοιτητών
- Γραπτή Εξέταση με Ερωτήσεις Εκτεταμένης Απάντησης (Συμπερασματική)
- Γραπτή Εργασία (Διαμορφωτική)
- Προφορική Εξέταση (Συμπερασματική)
- Δημόσια Παρουσίαση (Διαμορφωτική, Συμπερασματική)
- Γραπτή Εξέταση με Επίλυση Προβλημάτων (Συμπερασματική)
- Έκθεση / Αναφορά (Διαμορφωτική, Συμπερασματική)
Βιβλιογραφία
Επιπρόσθετη βιβλιογραφία για μελέτη
1. G. E. Bredon "Topology and Geometry"
2. A. Hatcher "Algebraic Topology"
3. J. P. May "A Concise Course in Algebraic Topology"
4. R. M. Switzer "Algebraic Topology - Homology and Homotopy"
5. T. tom Dieck "Algebraic Topology"
6. J. Munkres “Topology”
Τελευταία Επικαιροποίηση
11-05-2025
