ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ
| Τίτλος | ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ / Μeasure Theory |
| Κωδικός | 0643 |
| Σχολή | Θετικών Επιστημών |
| Τμήμα | Μαθηματικών |
| Κύκλος / Επίπεδο | 2ος / Μεταπτυχιακό |
| Περίοδος Διδασκαλίας | Χειμερινή |
| Υπεύθυνος/η | Ρωμανός διογένης Μαλικιώσης |
| Κοινό | Ναι |
| Κατάσταση | Ενεργό |
| Course ID | 40000031 |
Πρόγραμμα Σπουδών: ΠΜΣ Τμήματος Μαθηματικών (2018-σήμερα)
Εγγεγραμμένοι φοιτητές: 7
| Κατεύθυνση | Τύπος Παρακολούθησης | Εξάμηνο | Έτος | ECTS |
|---|---|---|---|---|
| ΚΟΡΜΟΣ | Ειδική Επιλογή | 1 | 1 | 10 |
| ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ | A II | 1 | 1 | 10 |
| Τίτλος | ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ |
| Ακαδημαϊκό Έτος | 2025 – 2026 |
| Περίοδος Τάξης | Χειμερινή |
| Διδάσκοντες μέλη ΔΕΠ | |
| Ώρες Εβδομαδιαία | 3 |
| Ώρες Συνολικά | 39 |
| Class ID | 600290415
|
Τύπος Προσφοράς
- Επιστημονικής Περιοχής
Τύπος Μαθήματος
Eιδίκευσης / Kατεύθυνσης
Τύπος Μαθήματος 2011-2015
Γενικού Υποβάθρου
Τρόπος Παράδοσης
- Πρόσωπο με πρόσωπο
- Eξ απoστάσεως εκπαίδευση
Ηλεκτρονική Διάθεση Μαθήματος
- e-Οδηγός Σπουδών https://qa.auth.gr/el/class/1/600290415
- eLearning: https://elearning.auth.gr/course/view.php?id=8303
Erasmus
Το μάθημα προσφέρεται και σε φοιτητές
προγραμμάτων ανταλλαγής.
Γλώσσα Διδασκαλίας
- Ελληνικά (Διδασκαλία, Εξέταση)
Προαπαιτήσεις
Γενικές Προαπαιτήσεις
Υπόβαθρο στην Πραγματική Ανάλυση προπτυχιακού επιπέδου (ακολουθίες και σειρές πραγματικών αριθμών, συνεχείς συναρτήσεις, παράγωγοι, ολοκλήρωμα Riemann, ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων).
Μαθησιακά Αποτελέσματα
Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές θα:
1. γνωρίζουν τη βασική Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωσης κατά Lebesgue
2. εξοικειωθούν με σύχρονους ορισμούς και έννοιες της Μαθηματικής Ανάλυσης
3. λάβουν τις απαραίτητες βάσεις για τα άλλα μαθήματα Ανάλυσης του μεταπτυχιακού προγράμματος
4. αποκτήσουν εμπειρία στη μελέτη διεθνούς βιβλιογραφίας στην αγγλική γλώσσα
5. μπορούν να μελετήσουν σύγχρονα ερευνητικά άρθρα υψηλού επιπέδου που άπτονται της Μαθηματικής Ανάλυσης
Γενικές Ικανότητες
- Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με τη χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών
- Προσαρμογή σε νέες καταστάσεις
- Λήψη αποφάσεων
- Αυτόνομη εργασία
- Ομαδική εργασία
- Παραγωγή νέων ερευνητικών ιδεών
- Άσκηση κριτικής και αυτοκριτικής
- Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης
Περιεχόμενο Μαθήματος
Εξωτερικό μέτρο Lebesgue, μετρήσιμα σύνολα, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Είδη σύγκλισης. Θεώρημα Fubini. Ανισότητα Hardy-Littlewood, θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue και εφαρμογή σε πυρήνες συνέλιξης. Διαφορισιμότητα αυξουσών συναρτήσεων, συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης, απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις, θεμελιώδες θεώρημα λογισμού. Αφηρημένη θεωρία μέτρου, θεώρημα Καραθεοδωρή, απολύτως συνεχή και ιδιάζοντα μέτρα, θεώρημα Radon-Nikodym.
Λέξεις Κλειδιά
Μέτρο Lebesgue, ολοκλήρωμα, θεώρημα Fubini, ανισότητα Hardy-Littlewood, θεώρημα διαφόρισης Lebesgue, απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις, συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης, απόλυτα συνεχή μέτρα, ιδιάζοντα μέτρα, θεώρημα Radon-Nikodym
Τύποι Εκπαιδευτικού Υλικού
- Σημειώσεις
- Διαφάνειες
- Πολυμεσικό υλικό
- Βιβλίο
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Χρήση Τ.Π.Ε.
- Χρήση Τ.Π.Ε. στην Επικοινωνία με τους φοιτητές
- Χρήση Τ.Π.Ε. στην Αξιολόγηση των Φοιτητών
Περιγραφή
Διαδικτυακές Ώρες ασκήσεων.
Οργάνωση Μαθήματος
| Δραστηριότητες | Φόρτος Εργασίας | ECTS | Ατομικά | Ομαδικά | Erasmus |
|---|---|---|---|---|---|
| Διαλέξεις | 39 | 1,3 | |||
| Μελέτη και ανάλυση βιβλίων και άρθρων | 183 | 6,1 | |||
| Φροντιστήριο | 13 | 0,4 | |||
| Εκπόνηση μελέτης (project) | 20 | 0,7 | |||
| Συγγραφή εργασίας / εργασιών | 40 | 1,3 | |||
| Εξετάσεις | 5 | 0,2 | |||
| Σύνολο | 300 | 10 |
Αξιολόγηση Φοιτητών
Περιγραφή
Ο τελικός βαθμός του μαθήματος θα υπολογιστεί ως εξής:
1. Εξέταση: 80%
2. Γραπτές Εργασίες: 20%
Σε περίπτωση που πραγματοποιηθεί και εξέταση προόδου εκτός της τελικής εξέτασης, οι βαθμοί προόδου και τελικής εξέτασης έχουν ίση βαρύτητα, δηλαδή ο κάθε ένας αντιστοιχεί στο 40% του τελικού βαθμού.
Μέθοδοι Αξιολόγησης Φοιτητών
- Γραπτή Εξέταση με Ερωτήσεις Σύντομης Απάντησης (Διαμορφωτική, Συμπερασματική)
- Γραπτή Εξέταση με Ερωτήσεις Εκτεταμένης Απάντησης (Διαμορφωτική, Συμπερασματική)
- Γραπτή Εργασία (Διαμορφωτική, Συμπερασματική)
- Δημόσια Παρουσίαση (Διαμορφωτική, Συμπερασματική)
Βιβλιογραφία
Βιβλιογραφία μαθήματος (Εύδοξος)
Δ. Μπετσάκος, Εισαγωγή στην Πραγματική Ανάλυση, Εκδόσεις Αφοί Κυριακίδη, 2016.
Επιπρόσθετη βιβλιογραφία για μελέτη
1. E. M. Stein and R. Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, Princeton University Press, 2005.
2. G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Applications, 2nd edition, Wiley Interscience, 1999.
3. T. Tao, An Introduction to Measure Theory, Graduate Studies in Mathematics, Volume 126, American Mathematical Society, 2011.
4. R. L. Wheeden and A. Zygmund, Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis, 2nd edition, Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics, Routledge, 2015.
5. W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd edition, Higher Mathematics Series, McGraw Hill, 1986.
Τελευταία Επικαιροποίηση
08-05-2025
