ΘΕΩΡΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

Ειδικού Υποβάθρου / Κορμού

Η εξοικείωση με μαθηματικά εργαλεία τα οποία είναι χρήσιμα για την μελέτη των ενοτήτων που ακολουθούν όπως: ◦ Βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών. ◦ Ανάλυση συστημάτων στον χώρο των καταστάσεων. • Η παρουσίαση προβλημάτων της Θεωρίας Βέλτιστου Ελέγχου. • Βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής. • Βελτιστοποίηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Να εισάγει τον αναγνώστη στην έννοια του συναρτησιακού και των ιδιοτήτων του, κάνοντας χρήση γνωστών εννοιών από τις συναρτήσεις. • Να διατυπώσει το βασικό Θεώρημα του Λογισμού των Μεταβολών διατυπώνοντας με τον τρόπο αυτό μια αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη ακροτάτου σε ένα συναρτησιακό. • Διατύπωση αναγκαίων συνθηκών Euler‐Lagrance για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού. • Διατύπωση ικανών συνθηκών Legendre‐Jacobi για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού. • Τερματική συνθήκη/ες ή συνθήκη/ες εγκαρσιότητας και μελέτη ειδικών περιπτώσεων. • Επίλυση βραχυστόχρονου προβλήματος (brachistochrone problem). • Επίλυση του προβλήματος αλυσίδας (hanging chain or catenary problem). • Διατύπωση αναγκαίων συνθηκών Euler‐Lagrance για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού. • Διατύπωση ικανών συνθηκών Legendre‐Jacobi για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού. • Τερματική συνθήκη/ες ή συνθήκη/ες εγκαρσιότητας και μελέτη ειδικών περιπτώσεων. • Διατύπωση αναγκαίων συνθηκών Euler‐Lagrance για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού. • Διατύπωση ικανών συνθηκών Legendre‐Jacobi για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού. • Τερματική συνθήκη/ες ή συνθήκη/ες εγκαρσιότητας και μελέτη ειδικών περιπτώσεων για τις αρχικές και τελικές τιμές της x(t). • Συνθήκες Weierstrass‐Erdmann για τα σημεία ασυνέχειας της παραγώγου της x(t). • Ο μετασχηματισμός της επίλυσης ενός προβλήματος υπολογισμού τοπικού ακρότατου συναρτησιακού διανυσματικής συνάρτησης η οποία υπόκειται σε δεσμούς, σε ένα ισοδύναμο πρόβλημα στο οποίο δεν έχουμε δεσμούς πλέον να ικανοποιούνται. • Ο μετασχηματισμός αυτός επιτυγχάνεται με χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange. • Επίλυση προβλήματος Bolza με χρήση Χαμιλτονιανής συνάρτησης. • Διατύπωση ικανών και αναγκαίων συνθηκών καθώς και των συνθηκών εγκαρσιότητας μέσω της Χαμιλτονιανής συνάρτησης. • Η είσοδος στο παραπάνω πρόβλημα δεν είναι φραγμένη. • Επίλυση του γραμμικού τετραγωνικού προβλήματος με πεπερασμένο χρονικό ορίζοντα : με επίλυση του συστήματος στον χώρο των καταστάσεων που προκύπτει από τις Χαμιλτονιανές εξισώσεις (αναγκαίες συνθήκες ακροτάτου) με επίλυση των διαφορικών εξισώσεων πινάκων Riccati. • Επίλυση του γραμμικού τετραγωνικού προβλήματος με άπειρο χρονικό ορίζοντα : - Με επίλυση του συστήματος στον χώρο των καταστάσεων που προκύπτει από τις Χαμιλτονιανές εξισώσεις (αναγκαίες συνθήκες ακροτάτου). - Με επίλυση των αλγεβρικών εξισώσεων πινάκων Riccati. - Ικανές και αναγκαίες συνθήκες επίλυσης του προβλήματος. - Επίλυση του προβλήματος ανίχνευσης (tracking problem). - Επίλυση του προβλήματος Bolza με την παραδοχή ότι η είσοδος είναι φραγμένη. - Αντικατάσταση της συνθήκης στατικότητας με την αρχή ελαχίστου του Pontryagin για την επίλυση του παραπάνω προβλήματος. - Εφαρμογή του παραπάνω προβλήματος στα παρακάτω ειδικά προβλήματα : - Πρόβλημα ελαχίστου χρόνου (time optimal control problem) - Πρόβλημα ελαχίστων καυσίμων (fuel optimal control problem) - Πρόβλημα ελάχιστης ενέργειας (energy optimal control problem)

Το πρόβλημα του βέλτιστου ελέγχου. Βασικές μαθηματικές έννοιες από το λογισμό μεταβολών. Ακρότατα συναρτησιακών. Εξίσωση Euler-Lagrance. Ακρότατα συ¬ναρ-τη¬σιακών με περιορισμούς. Βέλτιστος έλεγχος αιτιοκρατικών συστημάτων με ή και χωρίς φραγμό στο διάνυσμα ελέγχου. Αρχή ελαχίστου του Pontryagin. Το πρόβλημα γραμμικής τετραγωνικής ρύθμισης (LQ) και παρακολούθησης. Εξισώσεις Riccati. Πρόβλημα ελαχίστου χρόνου. Θεωρία Hamilton-Jacobi-Bellman. Ακριβείς και προσεγγιστικες λύσεις της εξίσωσης Hamilton Jacobi Bellman. "Κυρτοποίηση" της εξίσωσης Hamilton Jacobi Bellman. Δυναμικός προ¬γραμ-ματισμός. Παρατήρηση του διανύσματος κατάστασης σε στοχαστικό περιβάλλον. Φίλτρο Kalman. Το πρόβλημα της γραμμικής τετραγωνικής Gaussian βελτιστο¬ποίη-σης (LQG). Εφαρμογές σε πραγματικά πρόβληματα (ενεργιακά αποτελεσματικά κτήρια, έλεγχος κυκλοφορίας, ρομποτική, έξυπνο δίκτυο, internet).

βέλτιστος έλεγχος, γραμμικά συστήματα, λογισμός μεταβολών

24-05-2023