ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ
| Τίτλος | ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ / Advanced Numerical Analysis and Scientific Computing |
| Κωδικός | ΣΜΥ030 |
| Σχολή | Θετικών Επιστημών |
| Τμήμα | Μαθηματικών |
| Κύκλος / Επίπεδο | 2ος / Μεταπτυχιακό |
| Περίοδος Διδασκαλίας | Χειμερινή/Εαρινή |
| Υπεύθυνος/η | Ευθύμιος Καρατζάς |
| Κοινό | Ναι |
| Κατάσταση | Ενεργό |
| Course ID | 600025966 |
Πρόγραμμα Σπουδών: ΠΜΣ Τμήματος Μαθηματικών (2025-2030)
Εγγεγραμμένοι φοιτητές: 0
| Κατεύθυνση | Τύπος Παρακολούθησης | Εξάμηνο | Έτος | ECTS |
|---|---|---|---|---|
| ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ, ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ | Υποχρεωτικό Επιλογής | Χειμερινή | - | 10 |
| Τίτλος | ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ |
| Ακαδημαϊκό Έτος | 2025 – 2026 |
| Περίοδος Τάξης | Χειμερινή |
| Διδάσκοντες μέλη ΔΕΠ | |
| Ώρες Εβδομαδιαία | 3 |
| Ώρες Συνολικά | 39 |
| Class ID | 600268413
|
Τύπος Μαθήματος
Γενικού Υποβάθρου
Τύπος Μαθήματος 2016-2020
- Υποβάθρου
Τρόπος Παράδοσης
- Πρόσωπο με πρόσωπο
Ηλεκτρονική Διάθεση Μαθήματος
Erasmus
Το μάθημα προσφέρεται και σε φοιτητές
προγραμμάτων ανταλλαγής.
Γλώσσα Διδασκαλίας
- Ελληνικά (Διδασκαλία, Εξέταση)
- Αγγλικά (Διδασκαλία, Εξέταση)
Προαπαιτήσεις
Γενικές Προαπαιτήσεις
Βασικές γνώσεις Αριθμητικής και Μαθηματικής Ανάλυσης και γνώση κάποιας γλώσσας προγραματισμού.
Μαθησιακά Αποτελέσματα
Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές θα πρέπει να κατανοούν τα ζητήματα για προβλήματα αρχικών τιμών και να μπορούν να αναλύσουν και να επιλύσουν διαφορικές εξισώσεις καθώς και συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Να αντιλαμβάνονται τον ρόλο της ευστάθειας συνεχούς προβλήματος, της τάξης ακρίβειας και διαφόρων ιδιοτήτων ευστάθειας αριθμητικών μεθόδων για προβλήματα αρχικών τιμών. Να γνωρίζουν τις βασικές αριθμητικές μεθόδους για προβλήματα αρχικών τιμών, καθώς και τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματά τους. Να μπορούν να υλοποιήσουν στον υπολογιστή τις προαναφερθείσες μεθόδους.
Γενικές Ικανότητες
- Εφαρμογή της γνώσης στην πράξη
- Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με τη χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών
- Προσαρμογή σε νέες καταστάσεις
- Αυτόνομη εργασία
- Ομαδική εργασία
- Εργασία σε διεπιστημονικό περιβάλλον
Περιεχόμενο Μαθήματος
Εισαγωγή: Python3 και τα βασικά πακέτα λογισμικού: NumPy, SciPy, IPython, SymPy, pandas, matplotlib, paraview and python interface. Επιτάχυνση εκτέλεσης και τρόποι διεπαφής/interface με τη γλώσσα C++. Πρότυπο μοντέλο και πεπερασμένες διαφορές: Εισαγωγή, κάποια ενδιαφέροντα παραδείγματα, συνήθεις διαφορικές εξισώσεις και ταξινόμηση μερικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης, πρότυπο μοντέλο, διακριτοποίηση με πεπερασμένες διαφορές, το γραμμικό σύστημα, ιδιότητες του διακριτού γραμμικού συστήματος, διακριτό φάσμα, διαρμονική εξίσωση, πίσω από το μοντέλο πρόβλημα, εξισώσεις ρευστών, ελλειπτικά προβλήματα, παραβολικό πρόβλημα, πυκνοί πίνακες σε προβλήματα ΜΔΕ, αραιοί πίνακες σε προβλήματα ΜΔΕ, λίστα μοντέλων προβλημάτων, υλοποίηση σε υπολογιστή. Επιλύτες/Solvers για μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων: Προρυθμιστές/ Preconditioning, η μέθοδος συζυγών κλίσεων (CG), συμπεριφορά σύγκλισης της μεθόδου CG, προρυθμισμένη μέθοδος συζυγών κλίσεων (PCG), μέθοδοι τύπου GMRES, υβριδικές μέθοδοι, επιλογή της επαναληπτικής μεθόδου, προρύθμιση για γενικούς πίνακες. Πολλαπλού πλέγματος/Multigrid Μέθοδοι: Εισαγωγή, οι βασικές επαναληπτικές μέθοδοι όταν λειτουργούν ως προρυθμιστές, ανάλυση εξομάλυνσης, χρησιμοποιώντας αραιότερο πλέγμα, τελεστές μεταφοράς μεταξύ διαφορετικών πλεγμάτων, τελεστής αραιού πλέγματος, μέθοδος δύο πλεγμάτων, μέθοδος multigrid. Πεπερασμένα στοιχεία στις δυο και τρεις διαστάσεις: Βασική ανάλυση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων των πεπερασμένων στοιχείων, εκ των προτέρων εκτιμήσεις σφάλματος, ένα μοντέλο με μεταβλητούς συντελεστές. Μοντελοποίηση και Μείωση Μοντέλων: Μ.Δ.Ε. και εισαγωγή στις μεθόδους POD και DEIM. Πίνακας Ακαμψίας/Stiffness Matrix: Συναρμολόγηση/Assembly του πίνακα ακαμψίας, συναρμολόγηση των συνοριακών συνθηκών, ιδιότητες του πίνακα ακαμψίας, εφαρμογή στον υπολογιστή. Βιβλιοθήκες Python3 για πεπερασμένα στοιχεία: SfePy, Fempy, FEniCS Project, Netgen/NGSolve, FiPy, dolfin-adjoint. Εφαρμογές και υλοποίηση στον υπολογιστή, παράλληλος προγραμματισμός.
Λέξεις Κλειδιά
Αριθμητική ανάλυση, Αριθμητική ανάλυση για διαφορικές εξισώσεις.
Τύποι Εκπαιδευτικού Υλικού
- Διαφάνειες
- Βιβλίο
Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών
Χρήση Τ.Π.Ε.
- Χρήση Τ.Π.Ε. στη Διδασκαλία
- Χρήση Τ.Π.Ε. στην Εργαστηριακή Εκπαίδευση
- Χρήση Τ.Π.Ε. στην Επικοινωνία με τους φοιτητές
Περιγραφή
Προτζέκτορας διαφανειών, υπολογιστής.
Οργάνωση Μαθήματος
| Δραστηριότητες | Φόρτος Εργασίας | ECTS | Ατομικά | Ομαδικά | Erasmus |
|---|---|---|---|---|---|
| Διαλέξεις | 75 | ||||
| Σεμινάρια | 25 | ||||
| Εργαστηριακή Άσκηση | 50 | ||||
| Μελέτη και ανάλυση βιβλίων και άρθρων | 150 | ||||
| Εξετάσεις | 0 | ||||
| Σύνολο | 300 |
Αξιολόγηση Φοιτητών
Περιγραφή
Εργασίες, παρουσίαση εργασιών και γραπτή εξέταση.
Μέθοδοι Αξιολόγησης Φοιτητών
- Γραπτή Εξέταση με Ερωτήσεις Σύντομης Απάντησης (Διαμορφωτική)
- Γραπτή Εξέταση με Ερωτήσεις Εκτεταμένης Απάντησης (Διαμορφωτική)
- Γραπτή Εργασία (Διαμορφωτική)
- Προφορική Εξέταση (Συμπερασματική)
- Δημόσια Παρουσίαση (Συμπερασματική)
- Γραπτή Εξέταση με Επίλυση Προβλημάτων (Διαμορφωτική)
- Έκθεση / Αναφορά (Συμπερασματική)
Βιβλιογραφία
Βιβλιογραφία μαθήματος (Εύδοξος)
-Αριθμητικές Μέθοδοι για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Γ. Δ. Ακρίβη και Β. Α. Δουγαλή, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, δεύτερη έκδοση, 2013.
-Αριθμητική Ανάλυση: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Μ. Ν. Βραχάτη, Εκδόσεις Κλειδάριθμος, Αθήνα, 2012.
Επιπρόσθετη βιβλιογραφία για μελέτη
[1] R. Johansson, Numerical Python, Second Edition, Apress, 2019.
[2] M. G. Larson and F. Bengzon, The Finite Element Method: Theory, Implementation, and Applications, Springer, 2013.
[3] A. Friedman, C. Y. Kao, “Mathematical Modeling of Biological Processes”, Springer International Publishing, 2014.
[4] M. Asch, “A Toolbox for Digital Twins : From Model-Based to Data-Driven” Society for Industrial and Applied Mathematics SIAM, Philadelphia, 2022.
[5] H. P. Langtangen and A. Logg, Solving PDEs in Python, The FEniCS Tutorial I, Springer, 2016.
[6] E. N. Karatzas, G. Stabile, F. Ballarin, and G. Rozza, Book chapter In Advanced Reduced Order Methods and Applications in Computational Fluid Dynamics: “Reduced Basis, Embedded Methods, and Parametrized Level-Set Geometry”, SIAM Computational Science and Engineering, 2022.
Τελευταία Επικαιροποίηση
15-09-2025
