ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Γενικού Υποβάθρου

Γενικού Υποβάθρου

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές θα μπορούν να: - εφαρμόσουν τη μέθοδο Newton–Raphson και τις παραλλαγές της για την ακριβή εύρεση ριζών μη-γραμμικών εξισώσεων και συστημάτων. - επιλύσουν** μεγάλα γραμμικά συστήματα με αποδοτικές τεχνικές (LU, Gauss–Seidel) και να αξιολογούν τη σταθερότητα και την ακρίβεια των λύσεων. - κατασκευάσουν συμπτωτικά πολυώνυμα Lagrange, Hermite και splines για την ακριβή παρεμβολή και προέγγιση συναρτήσεων από δεδομένα. - υπολογίσουν αριθμητικά παραγώγους και ολοκληρώματα συναρτήσεων με μεθόδους υψηλής τάξης (Romberg, Gauss, Simpson) και να εκτιμούν τα σφάλματα. - επιλύσουν αριθμητικά διαφορικές εξισώσεις και συστήματα ODEs με μεθόδους Runge–Kutta και Adams, ελέγχοντας τη σταθερότητα και την ακρίβεια. - μοντελοποιούν και να αναλύουν φυσικά προβλήματα (κυματικές, διαχυτικές, δυναμικά συστήματα) με τα εργαλεία της αριθμητικής ανάλυσης.

## 1. Ρίζες μη-γραμμικών εξισώσεων - **Διχοτόμηση (Bolzano)**: αργή σύγκλιση, απλή υλοποίηση - **Γραμμική παρεμβολή**: ταχύτερη σύγκλιση - **Muller**: προσέγγιση με παραβολή, εύρεση μιγαδικών ριζών - **Μέθοδος x = g(x)**: σταθερά σημεία, συνθήκες σύγκλισης |g′| < 1 - **Newton–Raphson**: τετραγωνική σύγκλιση (O(ε^2)), απαιτεί f′ - **Halley** (2ης τάξης Newton): κυβική σύγκλιση (O(ε^3)) - **Πολλαπλές ρίζες**: τροποποίηση λόγου f/f′ - **Συστήματα μη-γραμμικών εξισώσεων**: επέκταση Newton–Raphson σε N διαστάσεις ## 2. Γραμμικά συστήματα - **Gauss**: μετατροπή σε άνω τριγωνικό, pivoting - **Gauss–Jordan**: διαγωνιοποίηση, αντίστροφος πίνακας - **L–U ανάλυση**: παραγοντοποίηση A = L·U, επαναχρησιμοποίηση για πολλά b - **Jacobi**: επαναληπτική, συνθήκες σύγκλισης |a_ii| > Σ|a_ij| - **Gauss–Seidel**: χρήση νέων τιμών άμεσα, ταχύτερη σύγκλιση - **Ιδιοτιμές / ιδιοδιανύσματα**: μέθοδος δυνάμεων, Aitken επιτάχυνση, μετάθεση ## 3. Παρεμβολή & πρόβλεψη - **Lagrange**: πολυώνυμο συμπτωτικό, τύπος + σφάλμα - **Newton–Gregory**: προς εμπρός / πίσω, διαφορές ισαπέχοντα xi - **Hermite**: πολυώνυμο εφαπτόμενο, χρήση τιμών και παραγώγων - **Taylor**: ανάπτυγμα γύρω από σημείο, σφάλμα εναπομείναντος όρου ## 4. Αριθμητική παραγώγιση - **Συμπτωτικό πολυώνυμο**: παράγωγοι μέσω Newton / Lagrange - **Κεντρικές διαφορές**: υψηλότερης τάξης τύποι, σφάλμα O(h^2) ή O(h^4) - **Σφάλματα**: απόκοπης, στρογγυλοποίησης, μετάδοση ## 5. Αριθμητική ολοκλήρωση - **Newton–Cotes**: τραπέζιο, Simpson 1/3 & 3/8, σφάλματα O(h^4), O(h^5) - **Romberg επιτάχυνση**: εξαγωγή Richardson, βελτίωση τάξης - **Gauss–Legendre**: βέλτιστα σημεία & βάρη, πολυώνυμα Legendre - **Gauss–Laguerre, Gauss–Hermite, Gauss–Chebyshev**: ειδικά βάρη - **Filon**: ολοκληρώματα με τριγωνομετρικές συναρτήσεις - **Euler–Maclaurin**: διόρθωση μέσω παραγώγων άκρων ## 6. Διαφορικές εξισώσεις ### 6.1 Μεθοδοι ενός βήματος - **Taylor**: ανάπτυγμα υψηλής τάξης - **Euler / Euler–Heun**: σφάλμα O(h^2), O(h^3) - **Runge–Kutta 4ης τάξης**: σφάλμα O(h^5) - **Runge–Kutta–Fehlberg**: μεταβλητό βήμα, εκτίμηση σφάλματος - **Σταθερότητα**: κριτήριο |1 + h ∂f/∂y| < 1 ### 6.2 Μεθοδοι πολλών βημάτων - **Adams**: προβολή 4-βήματος, σφάλμα O(h^5) - **Milne**: πρόβλεψη + διόρθωση, σφάλμα O(h^5) - **Hamming, Adams–Moulton**: συνδυασμοί πρόβλεψης–διόρθωσης ### 6.3 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων - Ανάγωγη ανώτερης τάξης → σύστημα 1ης τάξης - Εφαρμογή όλων των μεθόδων σε διανυσματική μορφή ## 7. Διαφορικες Εξισωσεις με Μερικες Παραγώγους - Εξίσωση Laplace - Εξισωση Διάχυσης - Εξισωση Κύματος

02-10-2025